题目内容
12．设向量$\overrightarrow{a}$=（$\sqrt{3}$sinx，sinx），$\overrightarrow{b}$=（cosx，sinx），x∈[0，$\frac{π}{2}$]．（1）若|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|，求x的值；
（2）设函数f（x）=$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$，求f（x）的最大值，f（x）的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位后得到g（x），求函数g（x）的单调区间．
分析 （1）由条件利用两个向量的数量积公式和同角三角函数的基本关系求得tanx的值，可得x的值．
（2）利用两个向量的数量积公式、三角恒等变换化简函数f（x）=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$的解析式，再利用正弦函数的单调性求得函数g（x）的单调调性．
解答 解：（1）根据向量$\overrightarrow{a}$=（$\sqrt{3}$sinx，sinx），$\overrightarrow{b}$=（cosx，sinx），
再根据|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|，可得3sin2x+sin2x=cos2x+sin2x，解得tanx=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
再根据x∈[0，$\frac{π}{2}$]，可得x=$\frac{π}{6}$．
（2）∵函数f（x）=$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$=$\sqrt{3}$sinxcosx+sin2x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1-cos2x}{2}$=sin（2x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，
又x∈[0，$\frac{π}{2}$]，∴2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，故sin（2x-$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，f（x）∈[0，$\frac{3}{2}$]．
f（x）的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位后得到g（x）=sin[2（x+$\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{6}$]+$\frac{1}{2}$=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$．
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈z，求得 kπ+$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{2π}{3}$，故函数g（x）的减区间为[kπ+$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{2π}{3}$]，k∈z．
再结合x∈[0，$\frac{π}{2}$]，可得函数g（x）的减区间为[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]，
同理求得函数g（x）的增区间为[0，$\frac{π}{6}$]．
点评 本题主要考查两个向量的数量积的运算，同角三角函数的基本关系，三角恒等变换，正弦函数的单调区间，属于中档题．
轻松课堂单元期中期末专题冲刺100分系列答案| A． | （0，1） | B． | （0，1] | C． | （-∞，0）∪（1，+∞） | D． | ∅ |
| A． | y=cos（x-$\frac{3π}{2}$） | B． | y=sin2x-cos2x | C． | y=cos2$\frac{x}{2}$ | D． | y=tan2x |
如图，等边三角形ABC的中线AF与中位线DE相交于G，已知△A′ED是△ADE绕DE旋转过程中的一个图形，下列命题中，错误的是（ ）| A． | 异面直线A′E与BD不可能垂直 | |
| B． | 恒有平面A′GF⊥平面BCDE | |
| C． | 三棱锥A′-EFD的体积有最大值 | |
| D． | 动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上 |