Question

【题目】如图

（1）证明命题“a是平面π内的一条直线，b是π外的一条直线（b不垂直于π），c是直线b在π上的投影，若a⊥b，则a⊥c”为真．
（2）写出上述命题的逆命题，并判断其真假（不需要证明）

Answer 1

【答案】
（1）证明：证法一：如图，过直线b上任一点作平面α的垂线n，设直线a，b，c，n对应的方向向量分别是 ，则 共面，

根据平面向量基本定理，存在实数λ，μ使得 ，

则 =

因为a⊥b，所以 ，

又因为aα，n⊥α，

所以 ，

故 ，从而a⊥c

证法二

如图，记c∩b=A，P为直线b上异于点A的任意一点，过P做PO⊥π，垂足为O，则O∈c，

∵PO⊥π，aπ，

∴直线PO⊥a，

又a⊥b，b平面PAO，PO∩b=P，

∴a⊥平面PAO，

又c平面PAO，

∴a⊥c

（2）证明：逆命题为：a是平面π内的一条直线，b是π外的一条直线（b不垂直于π），c是直线b在π上的投影，若a⊥c，则a⊥b，

逆命题为真命题

【解析】（1）证法一：做出辅助线，在直线上构造对应的方向向量，要证两条直线垂直，只要证明两条直线对应的向量的数量积等于0，根据向量的运算法则得到结果．
证法二：做出辅助线，根据线面垂直的性质，得到线线垂直，根据线面垂直的判定定理，得到线面垂直，再根据性质得到结论．（2）把所给的命题的题设和结论交换位置，得到原命题的逆命题，判断出你命题的正确性．
【考点精析】通过灵活运用四种命题和向量语言表述线线的垂直、平行关系，掌握原命题：若P则q； 逆命题：若q则p；否命题：若┑P则┑q；逆否命题：若┑q则┑p；设直线的方向向量分别是，则要证明∥，只需证明∥，即;则要证明，只需证明，即即可以解答此题．