题目内容
【题目】已知函数,其中
,
为自然对数的底数.
(1)讨论的单调性;
(2)当时,求函数
在
上的最大值.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】分析:(1)求出导函数,对
按
和
分类后可确定
的正负,即得
的单调区间;
(2)由(1)的极值点是
,因此在
时,函数在
上单调递增,当
时,可证
(用导数的知识证明),然后比较
和
的大小,最终求得最大值.
详解:(1),
.
当时,
,则
在
上单调递增;
当时,令
,得
.
当时,
,
单调递减;当
时,
,
单调递增.
综上,当时,
在
上单调递增;当
时,
在
单调递减,在
单调递增.
(2),令
,则
.
当时,
,由(1)的结论可知函数
在
上单调递增,
.
当时,
,下证
.事实上,令
,
则.当
时,
,所以
在
为增函数,且
,即当
时,
恒成立.
由(1)的结论,知在
单调递减,在
单调递增.
所以在
上的最大值等于
.
设,则
令,易得
,因为
,且
在
恒成立,所以
在
单调递增,所以
,即
恒成立,所以
在在
上单调递增,所以
在
上成立,即
.因此,当
时,
在
上的最大值为
.
综上所述,当时,
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】市积极倡导学生参与绿色环保活动,其中代号为“环保卫士-
”的绿色环保活动小组对
年
月-
年
月(一月)内空气质量指数
进行监测,如表是在这一年随机抽取的
天的统计结果:
指数 | |||||||
空气质量 | 优 | 良 | 轻微污染 | 轻微污染 | 中度污染 | 中重度污染 | 重度污染 |
天数 | 4 | 13 | 18 | 30 | 9 | 11 | 15 |
(Ⅰ)若市某企业每天由空气污染造成的经济损失
(单位:元)与空气质量指数
(记为
)的关系为:
,,在这一年内随机抽取一天,估计该天经济损失
元的概率;
(Ⅱ)若本次抽取的样本数据有天是在供暖季节,其中有
天为重度污染,完成
列联表,并判断是否有
的把握认为
市本年度空气重度污染与供暖有关?
下面临界值表供参考.
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
参考公式:.