题目内容

【题目】已知函数且满足条件:①.

(1)的表达式;

(2)时,证明:

(3)若函数,讨论上的零点个数.

【答案】(1)(2)见解析(3)见解析.

【解析】

(1)因为,图像关于成中心对称,是奇函数,图像关于(0,0)成中心对称,故,求解

(2)由三角函数线的定义直接证明。

(3)先设,转化为二次函数的零点问题,对值进行分类讨论:当

:(1)因为是奇函数,图像关于(0,0)成中心对称,

又因为,图像关于成中心对称,

,即,且,故

(另:,则

,即,故,综上

(2)当,设,即证

如图:在单位圆中,由三角函数线知

则在中,

,所以。(另:也可以利用证明!)

(3)设,,注意到

时,,即,则有2018个零点;

时,令

则有 个零点;

时,令

则有个零点;

时,令

则有个零点;

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