题目内容
【题目】已知函数且满足条件:①
;②
.
(1)求的表达式;
(2)当时,证明:
;
(3)若函数,讨论
在
上的零点个数.
【答案】(1)(2)见解析(3)见解析.
【解析】
(1)因为,图像关于
成中心对称,
是奇函数,图像关于(0,0)成中心对称,故
,求解
(2)由三角函数线的定义直接证明。
(3)先设,转化为二次函数
的零点问题,对
值进行分类讨论:当
,
,
。
:(1)因为是奇函数,图像关于(0,0)成中心对称,
又因为,图像关于
成中心对称,
则,即
,且
,故
,
(另:,则
)
又,即
,故
,综上
。
(2)当,
,设
,即证
,
如图:在单位圆中,由三角函数线知,
则在中,
,
即,所以
。(另:也可以利用
证明!)
(3)设,
,注意到
,
,
当时,
得
,即
,则有2018
个零点;
当时,令
得
,
则有 个零点;
当时,令
得
,
则有个零点;
当时,令
得
,
则有个零点;
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