题目内容
6．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a、b、c，且a、b、c成等比数列，a+c=3，tanB=$\frac{{\sqrt{7}}}{3}$，则△ABC的面积为（ ）| A． | $\frac{{\sqrt{7}}}{2}$ | B． | $\frac{7}{2}$ | C． | $\frac{5}{2}$ | D． | $\frac{{\sqrt{7}}}{4}$ |
分析 利用同角三角函数的基本关系求出sinB 和 cosB 的值，根据a，b，c成等比数列，可得 b2=ac，再由余弦定理求出ac的值，由△ABC的面积为 $\frac{1}{2}$ac•sinB，运算求得结果．
解答 解：在△ABC中，∵tanB=$\frac{\sqrt{7}}{3}$，可得$\frac{sinB}{cosB}=\frac{\sqrt{7}}{3}$，又sin2B+cos2B=1，∴B为锐角，且sinB=$\frac{\sqrt{7}}{4}$，cosB=$\frac{3}{4}$．
∵a，b，c成等比数列，∴b2=ac，再由余弦定理可得 b2=a2+c2-2accosB，
即 ac=（a+c）2-2ac-$\frac{3ac}{2}$=9-$\frac{7ac}{2}$，∴ac=2．
则△ABC的面积为 $\frac{1}{2}$ac•sinB=$\frac{\sqrt{7}}{4}$，
故选：D．
点评 本题考查余弦定理的应用，同角三角函数的基本关系，等比数列的定义和性质，求出ac=2，是解题的关键．
练习册系列答案
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3．函数f（x）=3sin（2x-$\frac{π}{6}$），在区间[0，$\frac{π}{2}$]上的值域为（ ）
| A． | [-$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$] | B． | [-$\frac{3}{2}$，3] | C． | [-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$] | D． | [-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，3] |
17．若tanθ=2，则sin2θ+sinθcosθ-2cos2θ=（ ）
| A． | $\frac{3}{5}$ | B． | $\frac{4}{5}$ | C． | $\frac{\sqrt{7}}{4}$ | D． | $\frac{3}{4}$ |
函数f（x）=sin（ωx+φ），（|φ|＜$\frac{π}{2}$）的图象如图所示．试求：