题目内容
【题目】设抛物线的顶点在坐标原点，焦点F在
轴正半轴上，过点F的直线交抛物线于A,B两点，线段AB的长是8，AB的中点到
轴的距离是
．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)在抛物线上是否存在不与原点重合的点P，使得过点P的直线交抛物线于另一点Q，满足
，且直线PQ与抛物线在点P处的切线垂直？并请说明理由．
【答案】（1）
（2）
【解析】分析：（1）先由抛物线的定义得到
再根据AB的中点到
轴的距离是
得到
即得p的值.(2)先假设
，再根据
，且直线PQ与抛物线在点P处的切线垂直求出点P的坐标.
详解：（1）设抛物线的方程是
，
由抛物线定义可知
又AB中点到x轴的距离为3，∴∴p＝2，
所以抛物线的标准方程是.
(2)设，则在P处的切线方程是
，
直线PQ:
代入得
，
故
所以
,
而
所以
，
得
，所以
，
故存在点满足题意.
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