题目内容
【题目】已知圆
经过两点
，
，且圆心在直线
：
上．
（1）求圆的方程；
（2）设圆与
轴相交于
、
两点，点
为圆上不同于、的任意一点，直线
、
交
轴于
、
点．当点变化时，以
为直径的圆
是否经过圆内一定点？请证明你的结论．
【答案】（1）
；（2）当点
变化时，以
为直径的圆
经过定点
．证明见解析
【解析】
（1）设圆圆心为
，由
求得
的值，可得圆心坐标和半径，从而求得圆的标准方程；
（2）设
（
），由条件求得
，
的坐标，可得圆的方程，再根据定点在
轴上，求出定点的坐标。
（1）设圆圆心为
，
由得，
，
解得
，∴
，
半径为
，
所以圆
：
（2）设（），则
．
又
，
，
所以
：
，
，
：
，
．
圆的方程为
．
化简得
，
由动点关于轴的对称性可知，定点必在轴上，
令
，得
．又点在圆内，
所以当点变化时，以为直径的圆经过定点．
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