Question

10．设函数f（x）=x|x-a|-x（x∈R）．
（1）试讨论f（x）的奇偶性；
（2）存在实数a对任意的x∈[0，t]，不等式-4≤f（x）≤6恒成立，求实数t的最大值及此时a的值．

Answer 1

分析 （1）根据函数奇偶性的定义，讨论a=0和a≠0即可；
（2）利用参数分离法，将不等式恒成立进行转化为求函数的最值问题进行求解即可．

解答 解：（1）当a=0时，f（0）=0，f（x）=x|x|-x为奇函数，
当a≠0时，f（-a）+f（a）=-2a|a|≠0，则f（x）不是奇函数，
若f（x）是偶函数，则f（-x）=f（x），
即f（-x）-f（x）=x（2-|x+a|-|x-a|）=0恒成立，
∵2-|x+a|-|x-a|=0不恒成立，∴f（x）不是偶函数，
综上当a=0时，函数f（x）为奇函数，
当a≠0，f（x）为非奇非偶函数；
（2）当x=0时，f（0）=0，-4≤f（x）≤6恒成立，
当x∈[0，t]，不等式-4≤f（x）≤6恒成立?-$\frac{4}{x}$+1≤|a-x|≤$\frac{6}{x}$+1
①当0＜x＜4时，?-$\frac{4}{x}$+1≤|a-x|恒成立，
|a-x|≤$\frac{6}{x}$+1?x-$\frac{6}{x}$-1≤a≤x+$\frac{6}{x}$+1恒成立，
②当t≥x≥4时，-$\frac{4}{x}$+1≤|a-x|≤$\frac{6}{x}$+1?$\left\{\begin{array}{l}{x-\frac{6}{x}-1≤a≤x+\frac{6}{x}+1}\\{a≤x+\frac{4}{x}-1或a≥x-\frac{4}{x}+1}\end{array}\right.$
?x-$\frac{4}{x}$+1≤a≤x+$\frac{6}{x}$+1或x-$\frac{6}{x}$-1≤a≤x+$\frac{4}{x}$-1恒成立，
∵4≤x≤t时，由x-$\frac{4}{x}$+1≤a≤x+$\frac{6}{x}$+1恒成立得，t-$\frac{4}{t}+1$≤2$\sqrt{6}$+1?t≤$\sqrt{6}+\sqrt{10}$，
由x-$\frac{6}{x}$-1≤a≤x+$\frac{4}{x}$-1恒成立，得t-$\frac{6}{t}-1≤4$⇒t≤6，
∵$\sqrt{6}+\sqrt{10}$＜6，
∴t的最大值为6，此时6-$\frac{6}{6}$-1≤a≤4，解得a=4．

点评 本题主要考查函数奇偶性的判断，以及不等式恒成立问题，利用参数分离法将不等式进行转化是解决本题的关键．综合性较强，难度较大，注意要利用分类讨论的数学思想．