Question

【题目】如果y=f（x）的定义域为R，对于定义域内的任意x，存在实数a使得f（x+a）=f（﹣x）成立，则称此函数具有“P（a）性质”．给出下列命题：

①函数y=sinx具有“P（a）性质”；

②若奇函数y=f（x）具有“P（2）性质”，且f（1）=1，则f（2015）=1；

③若函数y=f（x）具有“P（4）性质”，图象关于点（1，0）成中心对称，且在（﹣1，0）上单调递减，则y=f（x）在（﹣2，﹣1）上单调递减，在（1，2）上单调递增；

④若不恒为零的函数y=f（x）同时具有“P（0）性质”和“P（3）性质”，函数y=f（x）是周期函数．

其中正确的是 （写出所有正确命题的编号）．

Answer 1

【答案】①③④

【解析】

试题分析：①∵，∴函数具有“性质”；∴①正确；②∵若奇函数具有“性质”，∴，∴，周期为，∵，，∴②不正确；③∵若函数具有“性质”，∴，∴关于对称，即，∵图象关于点成中心对称，∴，即，∴，为偶函数，∵图象关于点成中心对称，且在上单调递减，∴图象也关于点成中心对称，且在上单调递减，由偶函数的对称得出：在上单调递增；故③正确；④∵“性质”和“性质”，∴，，∴为偶函数，且周期为，故④正确．