Question

8．已知长方体的长、宽、高分别为3、3、4，从长方体的12条棱中任取两条．设ξ为随机变量，当两条棱相交时，ξ=0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ=3．
（1）求概率P（ξ=0）；
（2）求ξ的分布列及数学期望E（ξ）．

Answer 1

分析 （1）若两条棱相交，则交点必为长方体8个顶点中的一个，过任意1个顶点恰有3条棱，所以共有$8C_3^2$对相交棱，由此能求出概率P（ξ=0）．
（2）由已知得ξ的可能取值为0，3，4，5，3$\sqrt{2}$，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量ξ的分布列和数学期望．

解答 解：（1）若两条棱相交，则交点必为长方体8个顶点中的一个，过任意1个顶点恰有3条棱，
所以共有$8C_3^2$对相交棱，
∴$P（ξ=0）=\frac{8C_3^2}{{C_{12}^2}}=\frac{24}{66}=\frac{4}{11}$．（4分）
（2）若两条棱平行，则他们的距离为3，4，5，$3\sqrt{2}$，∴ξ的可能取值为0，3，4，5，3$\sqrt{2}$，
$P（ξ=0）=\frac{8C_3^2}{{C_{12}^2}}=\frac{24}{66}=\frac{4}{11}$，
$P（ξ=4）=\frac{4}{{C_{12}^2}}=\frac{4}{66}=\frac{2}{33}$，（5分）
$P（ξ=5）=\frac{4}{{C_{12}^2}}=\frac{4}{66}=\frac{2}{33}$，（6分）
$P（ξ=3\sqrt{2}）=\frac{2}{{C_{12}^2}}=\frac{2}{66}=\frac{1}{33}$，（7分）
$P（ξ=3）=1-P（ξ=4）-P（ξ=5）-P（ξ=3\sqrt{2}）-P（ξ=0）=1-2\frac{4}{{C_{12}^2}}-\frac{2}{66}-\frac{24}{66}=\frac{32}{66}=\frac{16}{33}$，（8分）
∴随机变量ξ的分布列为：

ξ	0	3	4	5	$3\sqrt{2}$
P（ξ）	$\frac{4}{11}$	$\frac{16}{33}$	$\frac{2}{33}$	$\frac{2}{33}$	$\frac{1}{33}$

$E（ξ）=3×\frac{16}{33}+4×\frac{2}{33}+5×\frac{2}{33}+3\sqrt{2}×\frac{1}{33}=\frac{{66+3\sqrt{2}}}{33}$．（12分）

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，巧妙地把立体几何与概率统计有机地结合到一起，是中档题．