Question

18．甲乙两个人参加射击训练，射击一次中靶的概率分别是p₁，p₂，其中$\frac{1}{{p}_{1}}$，$\frac{1}{{p}_{2}}$是函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{5}{2}$x²+6x的两极值点（p₁＞p₂）．
（1）求p₁，p₂的值；
（2）两人各射击1次，求两人中恰好有一人中靶的概率．

Answer 1

分析 （1）求导数，f′（x）=（x-2）（x-3），导数为0的实数根为2，3，从而2，3便为f（x）的两极值点，根据p₁＞p₂，便可得出${p}_{1}=\frac{1}{2}，{p}_{2}=\frac{1}{3}$；
（2）事件“两人中恰有一人中靶”，包含“甲中靶乙不中靶”和“乙中靶甲不中靶”两个事件，这两个事件显然互斥，从而分别求出这两个事件的概率再求和即可．

解答 解：（1）f′（x）=x²-5x+6=（x-2）（x-3）；
∴2，3是f（x）的两个极值点；
p₁＞p₂；
∴$\frac{1}{{p}_{1}}＜\frac{1}{{p}_{2}}$；
∴$\frac{1}{{p}_{1}}=2，\frac{1}{{p}_{2}}=3$；
∴${p}_{1}=\frac{1}{2}，{p}_{2}=\frac{1}{3}$；
（2）甲中靶乙未中靶的概率为$\frac{1}{2}×（1-\frac{1}{3}）=\frac{1}{3}$；
乙中靶甲未中靶的概率为$（1-\frac{1}{2}）×\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$；
∴两人中恰有一人中靶的概率为$\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=\frac{1}{2}$．

点评 考查函数极值点的概念，及极值点的求法，函数在极值点处导数的取值情况，以及独立重复试验的概念，及互斥事件的概率的求法．