Question

3．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是梯形，其中AD∥BC，BA⊥AD，AC与BD交于点O，M是AB边上的点，已知PA=AD=4，AB=3，BC=2．
（1）求证：BC⊥PM；
（2）设平面PMC与平面PAB所成锐二面角为θ，求cosθ的最大值与最小值；
（3）已知AM=2BM，且N是PM上一点，且ON∥平面PCD，求$\frac{PN}{PM}$的值．

Answer 1

分析 （1）由已知得BC⊥PA，BC⊥AB，由此能证明BC⊥PM．
（2）以A为坐标原点，AB、AD、AP为x．y，z轴建立间直角坐标系，求出平面PCD的法向量和平面PMC的法向量，由此能求出cosθ的最大值和最小值．
（3）连接MO并延长交CD于G，连接PG，推导出ON∥PG，由此能求出$\frac{PN}{PM}$的值．

解答 （1）证明：∵PA⊥底面ABCD，BC?平面ABCD，∴BC⊥PA，
∵AD∥BC，BA⊥AD，BC⊥AB，
∵PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB，
∵PM?平面PAB，∴BC⊥PM．
（2）解：以A为坐标原点，AB、AD、AP为x．y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则A（0，0，0）、B（3，0，0）、C（3，2，0）、P（0，0，4）
设M（m，0，0），0≤m≤3，
平面PCD的法向量$\overrightarrow{n}$=（0，1，0），
设平面PMC的法向量$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
∵$\overrightarrow{PC}$=（3，2，-4），$\overrightarrow{PM}$=（m，0，-4）
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=3x+2y-4z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PM}=mx-4z=0}\end{array}\right.$，令x=4，得$\overrightarrow{m}$=（4，2m-6，m），
∴cosθ=|cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$|=|$\frac{2m-6}{\sqrt{16+（2m-6）^{2}+{m}^{2}}}$|=$\frac{6-2m}{\sqrt{5{m}^{2}-24m+52}}$=$\frac{6-2m}{\sqrt{5（m-\frac{12}{5}）^{2}+\frac{116}{5}}}$．
∵0≤m≤3，
∴m→3时，（cosθ）_min→0，
m=0时，（cosθ）_max=$\frac{6}{\sqrt{52}}$=$\frac{3\sqrt{13}}{13}$．
∴cosθ的最大值为$\frac{3\sqrt{13}}{13}$，最小值趋向于0．
（3）解：连接MO并延长交CD于G，连接PG
∵ON∥平面PCD，∴ON∥PG
在△BAD中，∵$\frac{BO}{OD}=\frac{BC}{AD}=\frac{1}{2}$，又$\frac{BM}{MA}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{BO}{OD}=\frac{BM}{MA}$，∴MO∥AD，…（9分）
又在直角梯形ABCD中，MO=OG=$\frac{4}{3}$，
∵ON∥PG，∴PN=MN，∴$\frac{PN}{PM}=\frac{1}{2}$．

点评 本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的最大值和最小值的求法，考查两线段比值的求法，解题时要注意空间思维能力的培养．