题目内容
【题目】已知椭圆
的离心率为
，若椭圆上的点与两个焦点构成的三角形中，面积最大为1.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线
与椭圆的交于
两点，
为坐标原点，且
，证明：直线与圆
相切.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
（1）由椭圆上点为短轴端点时所给三角形面积最大可得
，结合离心率和椭圆
的关系，构造方程组求得，进而得到椭圆方程；
（2）①当
的斜率存在时，设方程与椭圆方程联立，得到韦达定理的形式；利用垂直关系可得向量数量积等于零，代入韦达定理的结论整理可得
；利用点到直线距离公式求得圆心到直线距离
，代入可求得
；②当的斜率不存在时，可求得方程，易知其与圆相切；综合两种情况可得结论.
（1）
椭圆上的点与两个焦点构成的三角形中，面积最大时椭圆上的点为短轴端点
，又
，
椭圆
的标准方程为
（2）设
，
①当的斜率存在时，设
由
得：
则
，
又
，即满足
到直线的距离
又圆
的半径
直线与圆相切
②当的斜率不存在时，
所在的两条直线分别为
与椭圆方程联立可求得交点横坐标为
或
可得到
所在的直线为：
或
直线与圆相切
综上所述：当
时，直线与圆相切
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