Question

【题目】已知函数f（x）＝，其中a为常数．

（1）当a＝1时，求f（x）的最大值；

（2）若f（x）在区间(0，e]上的最大值为－2，求a的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

（1）利用导数分析单调性，进而求最值；

（2）利用分类讨论，时函数f（x）的单调性与此时的最大值，并由已知构建方程求得参数即可.

（1）易知f（x）的定义域为(0，＋∞)，当a＝1时，f（x）＝－x＋ln x，f′（x）＝－1＋＝，

令f′（x）＝0，得x＝1．当0<x<1时，f′（x）>0；当x>1时，f′（x）<0．

∴f（x）在(0，1)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数．

∴f（x）max＝f（1）＝－1．

∴当a＝－1时，函数f（x）在(0，＋∞)上的最大值为－1．

（2）f′（x）＝－a，x∈(0，e]，∈．

①若，则f′（x）≥0，从而f（x）在(0，e]上是增函数，

∴f（x）max＝f（e）＝≥0，不合题意．

②若，令f′（x）>0得－a >0，结合x∈(0，e]，解得0<x<；

令f′（x）<0得－a <0，结合x∈(0，e]，解得<x≤e．

从而f（x）在上为增函数，在上为减函数，

∴f（x）max＝＝－1=，

得，即a＝．

∵，∴a＝为所求．

故实数a的值为．