题目内容
【题目】已知函数,
.
(1)若存在极大值
,证明:
;
(2)若关于的不等式
在区间
上恒成立,求
的取值范围.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】
(1).(x∈(0,+∞)).对a分类讨论,即可得出单调性极值.进而证明结论.
(2)令h(x)=f(x)+ex-1-1=lnx-ax+a+ex-1-1,x∈[1,+∞),h(1)=0.,
,对a分类讨论,利用导数研究函数的单调性、极值与最值即可得出.
(1)
当时,
,
单调递增,不存在极大值,
所以,
在
上单调递增,在
上单调递减,
的极大值为
.
设,
,
在
上单调递减,在
上单调递增,
.
所以的极大值大于等于0.
(2)设,
,
,
所以单调递增,
由知
在
上单调递减,在
上单调递增,
,
,
若,则
,
在
恒成立,
此时,函数在
上单调递增,
,满足条件.
若,则
,所以存在
使得
,
即在内,有
,
在
上单调递减,
不满足条件.
综上,.
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