Question

13．在△ABC中，|$\overrightarrow{BC}$|•$\overrightarrow{GA}$+|$\overrightarrow{AC}$|•$\overrightarrow{GB}$+|$\overrightarrow{AB}$|•$\overrightarrow{GC}$=$\overrightarrow{0}$，其中G是三角形的重心，则△ABC的形状是（　　）

• A． 直角三角形
• B． 等腰三角形
• C． 等腰直角三角形
• D． 等边三角形

Answer 1

分析 设|$\overrightarrow{BC}$|=a，|$\overrightarrow{AC}$|=b，|$\overrightarrow{AB}$|=c，可得a•$\overrightarrow{GA}$+b$•\overrightarrow{GB}$=-c$•\overrightarrow{GC}$．根据三角形的重心的性质：$-\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}$，从而由a•$\overrightarrow{GA}$+b$•\overrightarrow{GB}$=c•（$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}$），可得（a-c）•$\overrightarrow{GA}$=（c-b）•$\overrightarrow{GB}$，即可解得a=b=c．

解答 解：设|$\overrightarrow{BC}$|=a，|$\overrightarrow{AC}$|=b，|$\overrightarrow{AB}$|=c，
则原式=a•$\overrightarrow{GA}$+b$•\overrightarrow{GB}$+c$•\overrightarrow{GC}$=0，
∴a•$\overrightarrow{GA}$+b$•\overrightarrow{GB}$=-c$•\overrightarrow{GC}$．
∵根据三角形的重心的性质：$-\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}$，
∴a•$\overrightarrow{GA}$+b$•\overrightarrow{GB}$=c•（$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}$）
⇒a•$\overrightarrow{GA}$+b$•\overrightarrow{GB}$=c•$\overrightarrow{GA}$+c•$\overrightarrow{GB}$
⇒a•$\overrightarrow{GA}$-c•$\overrightarrow{GA}$=c•$\overrightarrow{GB}$-b•$\overrightarrow{GB}$
⇒（a-c）•$\overrightarrow{GA}$=（c-b）•$\overrightarrow{GB}$
∵$\overrightarrow{GA}与\overrightarrow{GB}$的方向不同，
∴只有a-c=c-b=0时，（a-c）•$\overrightarrow{GA}$=（c-b）•$\overrightarrow{GB}$成立，
∴a=c，b=c，即a=b=c，△ABC为等边三角形．

点评 本题主要考查了平面向量的应用，三角形的重心的性质的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．