Question

5．已知f（x）=$\frac{1}{2}$log${\;}_{\frac{1}{2}}$（$\frac{1}{2}$x）•log${\;}_{\frac{1}{2}}$（$\frac{1}{4}$x），x∈[2，8]，求值域．

Answer 1

分析 根据对数的运算法则，利用换元法，转化为一元二次函数形式，利用一元二次函数的性质进行求解即可．

解答 解：f（x）=$\frac{1}{2}$log${\;}_{\frac{1}{2}}$（$\frac{1}{2}$x）•log${\;}_{\frac{1}{2}}$（$\frac{1}{4}$x）=$\frac{1}{2}$（log${\;}_{\frac{1}{2}}$$\frac{1}{2}$+log${\;}_{\frac{1}{2}}$x）•（log${\;}_{\frac{1}{2}}$$\frac{1}{4}$+log${\;}_{\frac{1}{2}}$x）
=$\frac{1}{2}$（1+log${\;}_{\frac{1}{2}}$x）•（2+log${\;}_{\frac{1}{2}}$x），
令t=log${\;}_{\frac{1}{2}}$x，x∈[2，8]，
则t∈[-3，-1]，
则函数等价为y=$\frac{1}{2}$（1+t）•（2+t）=$\frac{1}{2}$（t²+3t+2）=$\frac{1}{2}$（t+$\frac{3}{2}$）²+$\frac{1}{8}$，
∵t∈[-3，-1]，
∴当t=-$\frac{3}{2}$时，y最小为$\frac{1}{8}$，
当t=-3时，y取得最大值y=1，
故函数的值域为[$\frac{1}{8}$，1]．

点评 本题主要考查对数函数的值域的求解，利用换元法结合一元二次函数的性质是解决本题的关键．