题目内容
2．当0＜x≤$\frac{1}{4}$时，$\sqrt{x}$＜logax，求实数a的取值范围．分析 要使不等式$\sqrt{x}$＜logax在＜x≤$\frac{1}{4}$时恒成立等价于函数y=logax的图象在（0，$\frac{1}{4}$]内恒在函数y=$\sqrt{x}$图象的上方，由此能求出a的取值范围．
解答 解：要使0＜x≤$\frac{1}{4}$时，$\sqrt{x}$＜logax恒成立，
即函数y=logax的图象在（0，$\frac{1}{4}$]内恒在函数y=$\sqrt{x}$图象的上方，而y=$\sqrt{x}$图象过点（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$）．
由loga$\frac{1}{4}$＞$\frac{1}{2}$，知0＜a＜1，
∴函数y=logax递减．
又∵loga$\frac{1}{4}$＞$\frac{1}{2}$=${{log}_{a}a}^{\frac{1}{2}}$，
${a}^{\frac{1}{2}}$$≥\frac{1}{4}$，∴a＞$\frac{1}{16}$，
∴所求的a的取值范围是（$\frac{1}{16}，1$）．
点评 本题考查函数恒成立问题的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．
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