Question

【题目】已知椭圆方程为，它的一个顶点为，离心率.

（1）求椭圆的方程；

（2）设直线与椭圆交于， 两点，坐标原点到直线的距离为，求面积的最大值.

Answer 1

【答案】（1）椭圆的方程为.（2）面积取得最大值.

【解析】试题分析：（1）由题意列关于a，b，c的方程组，求解可得a，b，c的值，则椭圆方程可求；

（2）当AB⊥x轴时， ；当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m，由坐标原点O到直线l的距离为可得，联立直线方程与椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，由弦长公式求得|AB|，结合基本不等式求其最大值，则△AOB面积的最大值可求．

试题解析：

（1）设，

依题意得解得∴椭圆的方程为.

（2）①当轴时， .

②当与轴不垂直时，设直线的方程为，

由已知，得，把代入椭圆方程，整理得，

∴.

∴，

.

当且仅当，即时等号成立，此时.③当时， .综上所述：

，此时面积取最大值.