题目内容
【题目】已知椭圆方程为,它的一个顶点为
,离心率
.
(1)求椭圆的方程;
(2)设直线与椭圆交于
,
两点,坐标原点
到直线
的距离为
,求
面积的最大值.
【答案】(1)椭圆的方程为.(2)
面积取得最大值
.
【解析】试题分析:(1)由题意列关于a,b,c的方程组,求解可得a,b,c的值,则椭圆方程可求;
(2)当AB⊥x轴时, ;当AB与x轴不垂直时,设直线AB的方程为y=kx+m,由坐标原点O到直线l的距离为
可得
,联立直线方程与椭圆方程,化为关于x的一元二次方程,由弦长公式求得|AB|,结合基本不等式求其最大值,则△AOB面积的最大值可求.
试题解析:
(1)设,
依题意得解得
∴椭圆的方程为
.
(2)①当轴时,
.
②当与
轴不垂直时,设直线
的方程为
,
由已知,得
,把
代入椭圆方程,整理得
,
∴.
∴,
.
当且仅当,即
时等号成立,此时
.③当
时,
.综上所述:
,此时
面积取最大值
.
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