题目内容
【题目】已知正项等比数列的前
项和为
,首项
,且
,正项数列
满足
,
.
(1)求数列,
的通项公式;
(2)记,是否存在正整数
,使得对任意正整数
,
恒成立?若存在,求正整数
的最小值,若不存在,请说明理由.
【答案】(1);
(2)见解析
【解析】
(1)先设等比数列的公比为
,根据题中条件,求出公比,即可得出
的通项公式;再由累乘法求出
,根据题中条件求出
,
代入验证,即可得出
的通项公式;
(2)先由(1)化简,根据
,求出
的最大值,进而可得出结果.
解:(1)设等比数列的公比为
,
由,得
,
又,则
,
所以.
,由
,得
,
,…,
,
以上各式相乘得:,所以
.
在中,分别令
,
,得
,
满足
.
因此.
(2)由(1)知,
,
∴,
又∵,
∴,
令,得
,
∴,解得
,
∴当时,
,即
.
∵当时,
,
,
∴,即
.
此时,即
,
∴的最大值为
.
若存在正整数,使得对任意正整数
,
恒成立,则
,
∴正整数的最小值为4.
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练习册系列答案
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组别 | 候车时间 | 人数 |
一 | ||
二 | ||
三 | ||
四 | ||
五 |
(1)求这名乘客的平均候车时间;
(2)估计这名候车乘客中候车时间少于
分钟的人数;
(3)若从上表第三、四组的人中随机抽取
人作进一步的问卷调查,求抽到的两人恰好来自不同组的概率.