题目内容

已知坐标平面内⊙C:(x+1)2+y2=
1
4
,⊙D:(x-1)2+y2=
49
4
.动圆P与⊙C外切,与⊙D内切.
(1)求动圆圆心P的轨迹C1的方程;
(2)若过D点的斜率为2的直线与曲线C1交于两点A、B,求AB的长;
(3)过D的动直线与曲线C1交于A、B两点,线段AB中点为M,求M的轨迹方程.
(1)据题意,当令动圆半径为r时,有
|PC|=r+
1
2
|PD|=
7
2
-r
,所以|PC|+|PD|=4
由椭圆定义可知,点P的轨迹是以C(-1,0)、D(1,0)为焦点的椭圆.
令椭圆方程为
x2
a2
+
x2
b2
=1,(a>b>0)

所以a=2,b2=22-1=3,所以P的轨迹方程为
x2
4
+
x2
3
=1

(2)过D点斜率为2的直线方程为:y=2x-2.
y=2x-2
x2
4
+
y2
3
=1
,消y得到19x2-32x+4=0,
|AB|=
1+22
322-4×19×4
19
=
60
19

(3)由点差法可得KOMKAB=-
b2
a2
=-
3
4

若令M坐标为(x,y),则有
y
x
y
x-1
=-
3
4

化简可得:3x2+4y2-3x=0.
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