题目内容
【题目】在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为
，（a为参数）。以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为
，将C2逆时针旋转
以后得到曲线C3.
（1）写出C1与C3的极坐标方程；
（2）设C2与C3分别交曲线C1于A、B和C、D四点，求四边形ACBD面积的取值范围.
【答案】（1）
，
（2）
【解析】
（1）直接消去参数a，得C1的普通方程，把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入，得C1的极坐标方程；由C2的极坐标方程为θ=a（ρ∈R），直接得到C3的极坐标方程；
（2）将C2与C3的极坐标系方程与C1：ρ2（1+2sin2θ）=3联立，分别求得|AB|，|CD|，写出四边形ACBD面积，再由三角函数求面积的取值范围．
（1）.C1的普通方程为
，极坐标方程为C1：；
C3：
（2）.将C2与C3的极坐标系方程与C1:联立以后有：
，
四边形ACBD面积
.
由
，有四边形ACBD面积的取值范围为
【题目】甲、乙两家物流公司都需要进行货物中转，由于业务量扩大，现向社会招聘货车司机，其日工资方案如下：甲公司，底薪80元，司机毎中转一车货物另计4元：乙公司无底薪，中转40车货物以内（含40车）的部分司机每车计6元，超出40车的部分司机每车计7元．假设同一物流公司的司机一填中转车数相同，现从这两家公司各随机选取一名货车司机，并分别记录其50天的中转车数，得到如下频数表：
甲公司送餐员送餐单数频数表
送餐单数 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 |
天数 | 10 | 15 | 10 | 10 | 5 |
乙公司送餐员送餐单数频数表
送餐单数 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 |
天数 | 5 | 10 | 10 | 20 | 5 |
（1）现从记录甲公司的50天货物中转车数中随机抽取3天的中转车数，求这3天中转车数都不小于40的概率；
（2）若将频率视为概率，回答下列两个问题：
①记乙公司货车司机日工资为X（单位：元），求X的分布列和数学期望E（X）；
②小王打算到甲、乙两家物流公司中的一家应聘，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为小王作出选择，并说明理由．
【题目】某蛋糕店制作并销售一款蛋糕，制作一个蛋糕成本3元，且以8元的价格出售，若当天卖不完，剩下的则无偿捐献给饲料加工厂。根据以往100天的资料统计，得到如下需求量表。该蛋糕店一天制作了这款蛋糕
个，以
（单位：个，
，
）表示当天的市场需求量，
（单位：元）表示当天出售这款蛋糕获得的利润.
需求量/个 |
|
|
|
|
|
天数 | 15 | 25 | 30 | 20 | 10 |
（1）当
时，若
时获得的利润为
，
时获得的利润为
，试比较和的大小；
（2）当时，根据上表，从利润不少于570元的天数中，按需求量分层抽样抽取6天.
（i）求此时利润关于市场需求量的函数解析式，并求这6天中利润为650元的天数；
（ii）再从这6天中抽取3天做进一步分析，设这3天中利润为650元的天数为
，求随机变量的分布列及数学期望.
【题目】中国大学先修课程，是在高中开设的具有大学水平的课程，旨在让学有余力的高中生早接受大学思维方式、学习方法的训练，为大学学习乃至未来的职业生涯做好准备.某高中开设大学先修课程已有两年，两年共招收学生2000人，其中有300人参与学习先修课程，两年全校共有优等生200人，学习先修课程的优等生有60人.这两年学习先修课程的学生都参加了考试，并且都参加了某高校的自主招生考试（满分100分），结果如下表所示：
分数 |
|
|
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人数 | 20 | 55 | 105 | 70 | 50 |
参加自主招生获得通过的概率 | 0.9 | 0.8 | 0.6 | 0.5 | 0.4 |
（1）填写列联表，并画出列联表的等高条形图，并通过图形判断学习先修课程与优等生是否有关系，根据列联表的独立性检验，能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系？
优等生 | 非优等生 | 总计 | |
学习大学先修课程 | |||
没有学习大学先修课程 | |||
总计 |
（2）已知今年有150名学生报名学习大学先修课程，以前两年参加大学先修课程学习成绩的频率作为今年参加大学先修课程学习成绩的概率.
①在今年参与大学先修课程的学生中任取一人，求他获得某高校自主招生通过的概率；
②设今年全校参加大学先修课程的学生获得某高校自主招生通过的人数为
，求
.
参考数据：
| 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 |
参考公式：
，其中
.
