题目内容

已知向量
m
=(sinx,1),
n
=(
3
Acosx,
A
2
cos2x)(A>0)
,函数f(x)=
m
n
-1
的最大值为3.
(Ⅰ)求A以及最小正周期T;
(Ⅱ)将函数y=f(x)的图象向左平移
π
12
个单位,再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的
1
2
倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象.求g(x)在[-
π
12
π
6
]
上的最小值,以及此时对应的x的值.
( I)∵
m
=(sinx,1),
n
=(
3
Acosx,
A
2
cos2x)(A>0)

f(x)=
m
n
-1=
3
Asinxcosx+
A
2
cos2x-1

=A(
3
2
sin2x+
1
2
cos2x)-1
=Asin(2x+
π
6
)-1

∵A>0,且f(x)=
m
n
-1
的最大值为3,
∴A-1=3,
解得A=4,函数f(x)的最小正周期T=
2
=π.
综上所述,A=4且最小正周期T=π.
(Ⅱ)由(I)可得函数f(x)的解析式为f(x)=4sin(2x+
π
6
)-1

∴将函数y=f(x)的图象向左平移
π
12
个单位,得到y=4sin[2(x+
π
12
)+
π
6
]-1=4sin(2x+
π
3
)-1
的图象.
再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的
1
2
倍,纵坐标不变,得到y=4sin(4x+
π
3
)-1
的图象.
因此,函数g(x)=4sin(4x+
π
3
)-1

∵当x∈[-
π
12
π
6
]
4x+
π
3
∈[0,π],
可得sin(4x+
π
3
)
∈[0,1],
∴当4x+
π
3
=0或π时,
x=-
π
12
x=
π
6
时,g(x)min=-1.
即g(x)在[-
π
12
π
6
]
上的最小值为-1,
此时对应的x的值等于-
π
12
π
6
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