题目内容
已知向量
=(sinx,1),
=(
Acosx,
cos2x)(A>0),函数f(x)=
•
-1的最大值为3.
(Ⅰ)求A以及最小正周期T;
(Ⅱ)将函数y=f(x)的图象向左平移
个单位,再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的
倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象.求g(x)在[-
,
]上的最小值,以及此时对应的x的值.
m |
n |
3 |
A |
2 |
m |
n |
(Ⅰ)求A以及最小正周期T;
(Ⅱ)将函数y=f(x)的图象向左平移
π |
12 |
1 |
2 |
π |
12 |
π |
6 |
( I)∵
=(sinx,1),
=(
Acosx,
cos2x)(A>0),
∴f(x)=
•
-1=
Asinxcosx+
cos2x-1
=A(
sin2x+
cos2x)-1=Asin(2x+
)-1
∵A>0,且f(x)=
•
-1的最大值为3,
∴A-1=3,
解得A=4,函数f(x)的最小正周期T=
=π.
综上所述,A=4且最小正周期T=π.
(Ⅱ)由(I)可得函数f(x)的解析式为f(x)=4sin(2x+
)-1,
∴将函数y=f(x)的图象向左平移
个单位,得到y=4sin[2(x+
)+
]-1=4sin(2x+
)-1的图象.
再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的
倍,纵坐标不变,得到y=4sin(4x+
)-1的图象.
因此,函数g(x)=4sin(4x+
)-1,
∵当x∈[-
,
]时4x+
∈[0,π],
可得sin(4x+
)∈[0,1],
∴当4x+
=0或π时,
即x=-
或x=
时,g(x)min=-1.
即g(x)在[-
,
]上的最小值为-1,
此时对应的x的值等于-
或
.
m |
n |
3 |
A |
2 |
∴f(x)=
m |
n |
3 |
A |
2 |
=A(
| ||
2 |
1 |
2 |
π |
6 |
∵A>0,且f(x)=
m |
n |
∴A-1=3,
解得A=4,函数f(x)的最小正周期T=
2π |
2 |
综上所述,A=4且最小正周期T=π.
(Ⅱ)由(I)可得函数f(x)的解析式为f(x)=4sin(2x+
π |
6 |
∴将函数y=f(x)的图象向左平移
π |
12 |
π |
12 |
π |
6 |
π |
3 |
再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的
1 |
2 |
π |
3 |
因此,函数g(x)=4sin(4x+
π |
3 |
∵当x∈[-
π |
12 |
π |
6 |
π |
3 |
可得sin(4x+
π |
3 |
∴当4x+
π |
3 |
即x=-
π |
12 |
π |
6 |
即g(x)在[-
π |
12 |
π |
6 |
此时对应的x的值等于-
π |
12 |
π |
6 |
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