Question

【题目】如图,已知椭圆的长轴长为,过点的直线与轴垂直,椭圆的离心率, 为椭圆的左焦点,且.

（Ⅰ）求此椭圆的方程;

（Ⅱ）设是此椭圆上异于的任意一点, 轴, 为垂足,延长到点使得.连接并延长,交直线于点为的中点,判定直线与以为直径的圆的位置关系.

Answer 1

【答案】（Ⅰ） ;（Ⅱ）见解析.

【解析】试题分析：（1）因为， ，故可以解得，进而得到椭圆方程；（2）设,则,用点设出直线: ， : ,进而得到，直线,化简得，故得到结论.

解析：

（Ⅰ）由题意: ,并且.

又因为,所以.

又因为,所以.

所以椭圆的方程为

（Ⅱ）设,则

由得,所以: .

由得: ,

所以.

所以.

又因为点在椭圆上,满足.

所以.

所以直线,化简得.

所以点到直线的距离,与圆半径相等.

所以直线与以为直径的圆相切.