Question

【题目】已知椭圆C： =1（a＞b＞0）过点P（1， ），离心率为 ．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设F1、F2分别为椭圆C的左、右焦点，过F2的直线l与椭圆C交于不同两点M，N，记△F1MN的内切圆的面积为S，求当S取最大值时直线l的方程，并求出最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由题意得 =1， = ，a2=b2+c2 ，
解得a=2，b= ，c=1，
椭圆C的标准方程为 ；
（Ⅱ）设M（x1 ， y1），N（x2 ， y2），△F1MN的内切圆半径为r，
则 = （|MN|+|MF1|+|NF1|）r= ×8r=4r，
所以要使S取最大值，只需 最大，
则 = |F1F2||y1﹣y2|=|y1﹣y2|，
设直线l的方程为x=ty+1，
将x=ty+1代入 ；
可得（3t2+4）y2+6ty﹣9=0（*）
∵△＞0恒成立，方程（*）恒有解，
y1+y2= ，y1y2= ，
= = ，
记m= （m≥1），
= = 在[1，+∞）上递减，
当m=1即t=0时，（ ）max=3，
此时l：x=1，Smax= π．
【解析】（Ⅰ）运用离心率公式和点满足椭圆方程，解方程可得a，b，即可得到椭圆方程；（Ⅱ）设M（x1 ， 1），N（x2 ， y2），△F1MN的内切圆半径为r，运用等积法和韦达定理，弦长公式，结合基本不等式即可求得最大值．