Question

【题目】已知函数f（x）=（x﹣1）ex+ax2有两个零点 （Ⅰ）当a=1时，求f（x）的最小值；
（Ⅱ）求a的取值范围；
（Ⅲ）设x1 ， x2是f（x）的两个零点，证明：x1+x2＜0．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）a=1时，f（x）=（x﹣1）ex+x2 ， f′（x）=xex+2x=x（ex+1），
令f′（x）＞0，解得：x＞0，令f′（x）＜0，解得：x＜0，
故函数f（x）在（﹣∞，0）递减，在（0，+∞）递增；
故f（x）的最小值是f（0）=﹣1；
（Ⅱ）f'（x）=xex+2ax=x（ex+2a），
（i）当a＞0时，
函数f（x）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增．
∵f（0）=﹣1＜0，f（2）=e2+4a＞0，
取实数b满足b＜﹣2且b＜lna，
则f（b）＞a（b﹣1）+ab2=a（b2+b﹣1）＞a（4﹣2﹣1）＞0，
所以f（x）有两个零点
（ii）若a=0，则f（x）=（x﹣1）ex ， 故f（x）只有一个零点，
（iii）若a＜0，当a≥﹣ ，则f（x）在（0，+∞）单调递增，
又当x≤0时，f（x）＜0，故f（x）不存在两个零点；
当a＜﹣ ，则函数在（ln（﹣2a），+∞）单调递增，在（0，ln（﹣2a））单调递减；
又当x≤1时，f（x）＜0，故不存在两个零点；
综上所述，a的取值范围是（0，+∞）．
证明：（Ⅲ）不妨设x1＜x2 ．
由（Ⅱ）知x1∈（﹣∞，0），x2∈（0，+∞），﹣x2∈（﹣∞，0），
则x1+x2＜0等价于x1＜﹣x2 ．
因为函数f（x）在（﹣∞，0）单调递减，
所以x1＜﹣x2等价于f（x1）＞f（﹣x2），即证明f（﹣x2）＜0．
由f（x2）=（x2﹣1）ex2+a =0，得a =（1﹣x2）ex2 ，
f（﹣x2）=（﹣x2﹣1）e﹣x2+a =（﹣x2﹣1）e﹣x2+（1﹣x2）ex2 ，
令g（x）=（﹣x﹣1）e﹣x+（1﹣x）ex ， x∈（0，+∞），
g'（x）=﹣x（e﹣x+ex）＜0，g（x）在（0，+∞）单调递减，
又g（0）=0，所以g（x）＜0，
所以f（﹣x2）＜0，即原命题成立
【解析】（Ⅰ）求出函数f（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值即可；（Ⅱ）求出f'（x）=xex+2ax=x（ex+2a），通过（i）当a＞0时，判断函数的单调性，判断零点个数；（ii）若a=0，判断f（x）只有一个零点．（iii）若a＜0，利用单调性判断零点个数即可．（Ⅲ）不妨设x1＜x2 ． 推出x1＜﹣x2 ． 利用函数f（x）在（﹣∞，0）单调递减，证明f（﹣x2）＜0．令g（x）=（﹣x﹣1）e﹣x+（1﹣x）ex ， x∈（0，+∞）．利用g'（x）=﹣x（e﹣x+ex）＜0，转化证明即可．
【考点精析】认真审题，首先需要了解函数的极值与导数(求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值)．