题目内容
【题目】以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位，已知直线l的参数方程为 
（t为参数，0＜φ＜π），曲线C的极坐标方程为ρcos2θ=8sinθ．
（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（2）设直线l与曲线C相交于A、B两点，当φ变化时，求|AB|的最小值．
【答案】
（1）解：直线l的参数方程为 
消去参数可得：xcosφ﹣ysinφ+2sinφ=0；
即直线l的普通方程为xcosφ﹣ysinφ+2sinφ=0；
曲线C的极坐标方程为ρcos2θ=8sinθ．可得：ρ2cos2θ=8ρsinθ．
那么：x2=8y．
∴曲线C的直角坐标方程为x2=8y
（2）解：直线l的参数方程带入C的直角坐标方程，可得：t2cos2φ﹣8tsinφ﹣16=0；
设A，B两点对应的参数为t1，t2，
则 
， 
．
∴|AB|=|t1﹣t2|= 
= 
．
当φ= 
时，|AB|取得最小值为8
【解析】（1）直接消去直线l的参数可得普通方程；根据ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2 ， 进行代换即得曲线C的直角坐标方程．（2）将直线l的参数方程带入C的直角坐标方程；设出A，B两点的参数，利用韦达定理建立关系求解最值即可．
【题目】某品牌的汽车4S店，对最近100例分期付款购车情况进行统计，统计结果如表所示，已知分9期付款的频率为0.4；该店经销一辆该品牌的汽车．若顾客分3期付款，其利润为1万元；分6期或9期付款，其利润为2万元；分12期付款，其利润为3万元．
付款方式 | 分3期 | 分6期 | 分9期 | 分12期 |
频数 | 20 | 20 | a | b |
（1）若以表中计算出的频率近似替代概率，从该店采用分期付款购车的顾客（数量较大）中随机抽取3位顾客，求事件A：“至多有1位采用分6期付款”的概率P（A）；
（2）按分层抽样的方式从这100位顾客中抽出5人，再从抽出的5人中随机抽取3人，记该店在这3人身上赚取的总利润为随机变量η，求η的分布列及数学期望E（η）．
