Question

5．已知函数f（x）=x²+2ax-3．
（1）求实数a的取值范围，使得y=f（x）在区间[-4，6]上是单调函数；
（2）当x∈[-4，6]时，求f（x）的最小值g（a）；
（3）画出分段函数g（x）图象，求g（x）的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的对称轴，要使f（x）在区间[-4，6]上是单调函数，则有-a≤-4或-a≥6；
（2）分类讨论，结合函数的单调性，求f（x）的最小值g（a）；
（3）画出分段函数g（x）图象，即可求g（x）的最大值．

解答 解：（1）因为f（x）=x²+2ax-3=（x+a）²-3-a²，抛物线开口向上，且对称轴为x=-a．
要使f（x）在区间[-4，6]上是单调函数，则有-a≤-4或-a≥6，
解得a≥4或a≤-6；
（2）a≥4时，f（x）在区间[-4，6]上是单调增函数，f（x）的最小值g（a）=f（-4）=13-8a；
-6＜a＜4时，f（x）的最小值g（a）=f（-a）=-3-a²；
a≤-6时，f（x）在区间[-4，6]上是单调减函数，f（x）的最小值g（a）=f（6）=33+12a；
∴g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{33+12a，a≤-6}\\{-3-{a}^{2}，-6＜a＜4}\\{13-8a，a≥4}\end{array}\right.$；
（3）函数图象如图所示

g（x）的最大值是-3．

点评 本题考查函数的单调性与最小值，考查函数图象的作法，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．