题目内容
【题目】已知椭圆C1: + =1,圆C2:x2+y2=t经过椭圆C1的焦点.
(1)设P为椭圆上任意一点,过点P作圆C2的切线,切点为Q,求△POQ面积的取值范围,其中O为坐标原点;
(2)过点M(﹣1,0)的直线l与曲线C1 , C2自上而下依次交于点A,B,C,D,若|AB|=|CD|,求直线l的方程.
【答案】
(1)解:椭圆C1: + =1的焦点坐标为(± ,0),则t=2,设P(x,y),则丨PO丨= = = ,
由x2∈[0,6],则丨PO丨∈[2, ],
则△POQ面积S,S= × × ∈[1, ],
△POQ面积的取值范围[1, ]
(2)解:设直线l的方程为:x=my﹣1;
联立 ,消去x,整理得(2m2+3)y2﹣4my﹣10=0,
设A(x1,y1),D(x2,y2),则y1+y2=
联立 ,消去x,得(m2+1)y2﹣2my﹣1=0,
设B(x3,y3),D(x3,y4),则y3+y4= ,
又丨AB丨=丨CD丨,则 = ,即y3﹣y1=y2﹣y4,
从而y1+y2=y3+y4,即 = ,解得m=0,
∴直线l的方程为x=﹣1
【解析】(1)由题意的焦点坐标,求得t的值,则丨PO丨∈[2, ],利用三角形的面积公式,即可求得△POQ面积的取值范围;(2)将直线l的方程,代入椭圆方程及圆的方程,利用韦达定理及向量数量积的坐标运算,即可求得m的值,求得直线直线l的方程.
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