Question

已知函数f（x）=b•a^x（其中a，b为常数且a＞0，a≠1）的图象经过点A（1，6），B（3，24）．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若不等式(

a

b

)x≥2m+1在x∈（-∞，1]上恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（I）将点的坐标，代入函数解析式，即可求得f（x）的解析式；
（II）求出g(x)=(

a

b

)x=(

2

3

)x在x∈（-∞，1]上的最小值，不等式(

a

b

)x≥2m+1在x∈（-∞，1]上恒成立，转化为g（x）_min≥2m+1，从而可求实数m的取值范围．

解答：解：（I）由题意得

a•b=6 b•a3=24

，∴a=2，b=3，…（2分）
∴f（x）=3•2^x…（4分）
（II）设g(x)=(

a

b

)x=(

2

3

)x，则y=g（x）在R上为减函数．…（7分）
∴当x≤1时gmin(x)=g(1)=

2

3

，…（9分）
∵(

a

b

)x≥2m+1在x∈（-∞，1]上恒成立，…（10分）
∴g（x）_min≥2m+1，…（11分）
∴2m+1≤

2

3

，∴m≤-

1

6

∴m的取值范围为：m≤-

1

6

．…（12分）

点评：本题考查函数解析式的确定，考查恒成立问题，求出函数的最值是关键．