题目内容
【题目】已知是满足下述条件的所有函数
组成的集合:对于函数
定义域内的任意两个自变量
、
,均有
成立.
(1)已知定义域为的函数
,求实数
、
的取值范围;
(2)设定义域为的函数
,且
,求正实数
的取值范围;
(3)已知函数的定义域为
,求证:
.
【答案】(1),
;(2)
;(3)证明见解析.
【解析】
(1)根据题意得到不等式,通过不等式可以求出实数、
的取值范围;
(2)求出时, 正实数
的取值范围,然后根据补集思想,求出正实数
的取值范围即可;
(3)设,利用分子有理化,绝对值不等式的性质,可以证明出
,这样就可以证明出
.
(1)因为定义域为的函数
,所以
均有
成立,即
,显然
,因此
,
;
(2) 设定义域为的函数
,且
,所以
均有
成立,即
,
设,即
在
上恒成立,
,因此有:
,因此当
时, 正实数
的取值范围为:
;
(3) 设
,
所以有,显然
也成立.
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