题目内容
【题目】已知公差的等差数列
的前
项和为
,且满足
,
.
(1)求数列的通项公式;
(2)求证:是数列
中的项;
(3)若正整数满足如下条件:存在正整数
,使得数列
,
,
为递增的等比数列,求
的值所构成的集合.
【答案】(1) ;(2)证明见解析;(3) 见解析
【解析】
(1)根据等差数列性质,结合
求得
等再求
的通项公式.
(2)先求出,再证明
满足
的通项公式.
(3)由数列,
,
为递增的等比数列可得
,从而根据
的通项公式求
的值所构成的集合.
(1)因为为等差数列,故
,故
或
,又公差
,所以
,故
,故
.
(2)由可得
,
故,
若是数列
中的项,则
即,
即,故
是数列
中的项;
(3)由数列,
,
为递增的等比数列,则
即.由题意存在正整数
使得等式
成立,
因为,故
能被5整除,设
,
则,又
为整数,故
为整数设
,即
,故
,解得
,又
,故
,
不妨设,则
.
即
又当时,由
得
满足条件.
综上所述,.
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