Question

18．在△ABC中，已知$tan\frac{A+B}{2}=sinC$，则△ABC的形状为（　　）

• A． 正三角形
• B． 等腰三角形
• C． 直角三角形
• D． 等腰直角三角形

Answer 1

分析 由条件利用诱导公式、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式求得sin$\frac{C}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，可得C=$\frac{π}{2}$，故△ABC的形状为直角三角形．

解答 解：△ABC中，∵已知$tan\frac{A+B}{2}=sinC$，∴cot$\frac{C}{2}$=sinC，
即$\frac{cos\frac{C}{2}}{sin\frac{C}{2}}$=2sin$\frac{C}{2}$cos$\frac{C}{2}$．
又cos$\frac{C}{2}$≠0，∴sin$\frac{C}{2}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$ （舍去），或sin$\frac{C}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{C}{2}$=$\frac{π}{4}$，C=$\frac{π}{2}$，∴△ABC的形状为直角三角形，
故选：C．

点评 本题主要考查诱导公式、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式的应用，属于基础题．