Question

8．记函数f（n）=1+$\frac{x}{1!}$+$\frac{{x}^{2}}{2!}$+…+$\frac{{x}^{n}}{n!}$（n∈N₊），求证：当n为偶数时，方程f_n（x）=0没有实数根；当n为奇数时，方程f_n（x）=0有唯一实数根x_n，且x_n+2＜x_n．

Answer 1

分析 构造辅助函数F_n（x）=e^-xf_n（x）=e^-x（1+$\frac{x}{1!}$+$\frac{{x}^{2}}{2!}$+…+$\frac{{x}^{n}}{n!}$）．当n为偶数时求导得到
F_n′（x）=-e^-x•$\frac{1}{（2k-1）!}{x}^{2k-1}$，从而得到F_n（x）在（-∞，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减．
求得F_n（x）_max=F_n（0）=0后说明n为偶数时，F_n（x）=0无解，从而方程f_n（x）=0没有实数根；当n为奇数时，设F_n（x）=e^-xf_n（x）=e^-x（1+$\frac{x}{1!}$+$\frac{{x}^{2}}{2!}$+…+$\frac{{x}^{n}}{n!}$）．由其导数小于0说明y=F_n（x）为R上的减函数，而
F（1）＞0，F（-1）＜0，说明F_n（x）=0有唯一解，从而方程f_n（x）=0有唯一实数根x_n，且x_n+2＜x_n．

解答 证明：当n为偶数时，设F_n（x）=e^-xf_n（x）=e^-x（1+$\frac{x}{1!}$+$\frac{{x}^{2}}{2!}$+…+$\frac{{x}^{n}}{n!}$）．
设n=2k（k∈N₊），则F_n′（x）=-e^-x•$\frac{1}{（2k-1）!}{x}^{2k-1}$，
当x＜0时，F_n′（x）＞0，当x＞0时，F_n′（x）＜0，
∴F_n（x）在（-∞，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减．
∴F_n（x）_max=F_n（0）=0，
∴n为偶数时，F_n（x）=0无解，从而方程f_n（x）=0没有实数根；
当n为奇数时，设F_n（x）=e^-xf_n（x）=e^-x（1+$\frac{x}{1!}$+$\frac{{x}^{2}}{2!}$+…+$\frac{{x}^{n}}{n!}$）．
设n=2k+1（k∈N₊），则F_n′（x）=-e^-x•$\frac{1}{（2k）!}{x}^{2k}$＜0，
∴y=F_n（x）为R上的减函数，而F（1）＞0，F（-1）＜0，
∴F_n（x）=0有唯一解，从而方程f_n（x）=0有唯一实数根x_n，且x_n+2＜x_n．

点评 考查函数的单调性，考查函数的最值，解题的关键是构造新函数且应用函数的导函数求解，注意函数和方程之间的关系，是有一定难度题目．