题目内容
19.在平面直角坐标系xOy中,已知圆O:x2+y2=4和点P(-1,1),过点P的直线l交圆O于A、B两点.(1)若|AB|=2$\sqrt{3}$,求直线l的方程;
(2)设弦AB的中点为M,求点M的轨迹方程.
分析 (1)设过点P(-1,1)的直线l:x=-1或y-1=k(x+1),联立圆的方程,由点到直线的距离公式和弦长公式,计算即可得到所求;
(2)取OP的中点H,连接MH,由直角三角形的斜边上的中线为斜边的一半,运用圆的定义,即可得到所求轨迹方程.
解答 解:(1)设过点P(-1,1)的直线l:x=-1或y-1=k(x+1),
当直线为x=-1时,代入圆的方程可得y=±$\sqrt{3}$,
有|AB|=2$\sqrt{3}$,成立;
当直线为y=kx+1+k,圆心到直线的距离为d=$\frac{|1+k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$,
有2$\sqrt{4-{d}^{2}}$=2$\sqrt{3}$,即有d=1,解得k=0,
即有直线方程为y=1.
综上可得直线方程为x=-1或y=1;
(2)由OM⊥AB,
在直角三角形OMP中,OP为斜边,
取OP的中点H,即有|OP|=2|MH|,
可得|MH|=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,
且H(-$\frac{1}{2}$,$\frac{1}{2}$),
设M(x,y),则$\sqrt{(x+\frac{1}{2})^{2}+(y-\frac{1}{2})^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,
即有M的轨迹方程为圆(x+$\frac{1}{2}$)2+(y-$\frac{1}{2}$)2=$\frac{1}{2}$.
点评 本题考查直线和圆的位置关系,考查弦长公式的运用和直线方程的求法,注意斜率不存在的情况,同时考查点的轨迹方程的求法,注意运用几何性质,属于中档题.
练习册系列答案
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C. | 充分必要条件 | D. | 既不充分也不必要条件 |
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