题目内容
【题目】已知函数.
(1)若为
的极值点,求实数
的值;
(2)若在
上为增函数,求实数
的取值范围;
(2)若使方程
有实根,求实数
的取值范围.
【答案】(1) (2)
(3)
【解析】试题分析:(1)求导若
为
的极值点,则
从而求得结果.(2)由f(x)在[1,+∞)上为增函数,则有f′(x)≥0,x∈[1,+∞)上恒成立求解.若
,则
,∴
在
上为增函数成立,若
,
对
上恒成立. 对称轴为
,从而
在
上为增函数. 只要
即可(3)将a=-1代入,方程f(1x)(1x)3=
可转化为b=xlnx+x2-x3,x>0上有解,只要求得函数g(x)=xlnx+x2-x3的值域即可.
试题解析:
(1)
∵为
的极值点,∴
∴且
∴
又当时,
,从而
为
的极值点成立.
(2)因为在
上为增函数,
所以在
上恒成立.
若,则
,∴
在
上为增函数成立
若,由
对
恒成立知
.
所以对
上恒成立.
令,其对称轴为
,
因为,所以
,从而
在
上为增函数.
所以只要即可,即
所以又因为
(3)若时,方程
可得
即在
上有解
即求函数的值域.
令
由∵
∴当
时,
,
从而在
上为增函数;当
时,
,从而
在
上为减函数.
∴,而
可以无穷小.∴
的取值范围为
.
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