题目内容
【题目】如图,四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为平行四边形,AB=2,AD= ,∠DAB=
,PD⊥AD,PD⊥DC.
(Ⅰ)证明:BC⊥平面PBD;
(Ⅱ)若二面角P﹣BC﹣D为 ,求AP与平面PBC所成角的正弦值.
【答案】(Ⅰ)证明:∵AB=2,AD= ,∠DAB=
, ∴BD=
=1
∴AB2=AD2+BD2 , ∴AD⊥BD,∴BC⊥BD
∵PD⊥AD,PD⊥DC,∴PD⊥底面ABCD,∴PD⊥BC
又∵PD∩BD=D,∴BC⊥平面PBD;
(Ⅱ)解:由(1)所证,BC⊥平面PBD,所以∠PBD即为二面角P﹣BC﹣D的平面角,即∠PBD=
而BD=1,所以PD= ,
分别以DA、DB、DP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则A( ,0,0),B(0,1,0),C(﹣
,1,0),P(0,0,
)
所以 =(﹣
,0,
),
=(﹣v,0,0),
=(0,﹣1,
),
设平面PBC的法向量为 =(a,b,c),∴
可解得 =(0,
,1),
∴AP与平面PBC所成角的正弦值为sinθ=| |=
.
【解析】(Ⅰ)证明BC⊥BD,PD⊥BC,即可证明BC⊥平面PBD;(Ⅱ)确定∠PBD即为二面角P﹣BC﹣D的平面角,分别以DA、DB、DP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,用坐标表示向量及平面PBC的法向量,利用向量的数量积公式,即可求得AP与平面PBC所成角的正弦值.
【考点精析】通过灵活运用直线与平面垂直的判定和空间角的异面直线所成的角,掌握一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直;注意点:a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视;b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想;已知为两异面直线,A,C与B,D分别是
上的任意两点,
所成的角为
,则
即可以解答此题.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)