题目内容

12.某个海边旅游景点,有小型游艇出租供游客出海游玩,收费标准如下:租用时间不超过2小时收费100,超过2小时的部分按每小时100收取(不足一小时按一小时计算).现甲、乙两人独立来该景点租用小型游艇,各租一次.设甲、乙租用不超过两小时的概率分别为$\frac{1}{3}$,$\frac{1}{2}$;租用2小时以上且不超过3小时的概率分别为$\frac{1}{2}$,$\frac{1}{3}$,且两人租用的时间都不超过4小时.
(Ⅰ)求甲、乙两人所付费用相同的概率;
(Ⅱ)设甲、乙两人所付的费用之和为随机变量ξ,求ξ的分布列与数学期望.

分析 (Ⅰ)首先求出两个人租车时间超过三小时的概率,甲乙两人所付的租车费用相同即租车时间相同:都不超过两小时、都在两小时以上且不超过三小时和都超过三小时三类求解即可.
(Ⅱ)随机变量ξ的所有取值为200,300,400,500,600,由独立事件的概率分别求概率,列出分布列,再由期望的公式求期望即可.

解答 解:(Ⅰ)甲、乙所付费用可以为100、200元、300元…(1分)
甲、乙两人所付费用都是100元的概率为${P_1}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}=\frac{1}{6}$…(2分)
甲、乙两人所付费用都是200元的概率为${P_1}=\frac{1}{2}×\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$…(3分)
甲、乙两人所付费用都是300元的概率为${P_1}=(1-\frac{1}{3}-\frac{1}{2})×(1-\frac{1}{2}-\frac{1}{3})=\frac{1}{36}$
故甲、乙两人所付费用相等的概率为$P={P_1}+{P_2}+{P_3}=\frac{13}{36}$…(6分)
(Ⅱ)随机变量ξ的取值可以为200,300,400,500,600…(7分)
P(ξ=200)=$\frac{1}{2}×\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$
P(ξ=300)=$\frac{1}{3}×\frac{1}{3}\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{13}{36}$
P(ξ=400)=$\frac{1}{2}×\frac{1}{3}+(1-\frac{1}{2}-\frac{1}{3})×\frac{1}{3}+(1-\frac{1}{3}-\frac{1}{2})×\frac{1}{2}=\frac{11}{36}$
P(ξ=500)=$\frac{1}{2}×(1-\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+(1-\frac{1}{2}-\frac{1}{3})×\frac{1}{3}=\frac{5}{36}$
P(ξ=600)=$(1-\frac{1}{2}-\frac{1}{3})×(1-\frac{1}{2}-\frac{1}{3})=\frac{1}{36}$
故ξ的分布列为:

ξ200300400500600
P$\frac{1}{6}$$\frac{13}{36}$$\frac{11}{36}$$\frac{5}{36}$$\frac{1}{36}$
…(11分)
∴ξ的数学期望是$Eξ=200×\frac{1}{6}+300×\frac{13}{36}+400×\frac{11}{36}+500×\frac{5}{36}+600×\frac{1}{36}=350$…(13分)

点评 本题考查独立事件、互斥事件的概率、离散型随机变量的分布列和数学期望,考查利用所学知识解决问题的能力.属于中档题型.

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