题目内容
【题目】在数列{an}中,已知a1= ,an+1=
an﹣
,n∈N* , 设Sn为{an}的前n项和.
(1)求证:数列{3nan}是等差数列;
(2)求Sn;
(3)是否存在正整数p,q,r(p<q<r),使Sp , Sq , Sr成等差数列?若存在,求出p,q,r的值;若不存在,说明理由.
【答案】
(1)证明:由an+1= an﹣
,n∈N*,
得到3n+1an+1=3nan﹣2,
则3n+1an+1﹣3nan=﹣2.
又∵a1= ,
∴3×a1=1,
数列{3nan}是以1为首项,以﹣2为公差的等差数列
(2)解:由(1)可以推知:3nan=1﹣2(n﹣1),
所以,an= ,
所以Sn= ﹣
﹣
﹣
﹣…﹣
,①
Sn=
﹣
﹣
﹣
﹣…﹣
,②
①﹣②,得
Sn=
﹣2(
+
+
+…+
)﹣
,
= ﹣2×
﹣
,
= ,
所以Sn=
(3)解:假设存在正整数p,q,r(p<q<r),使Sp,Sq,Sr成等差数列.
则2Sq=Sp+Sr,
即 =
+
.
由于当n≥2时,an= <0,
所以数列{Sn}单调递减.
又p<q,
所以p≤q﹣1且q至少为2,
所以 ≥
,
﹣
=
.
①当q≥3时, ≥
≥
,
又 >0,
所以 <
+
,等式不成立.
②当q=2时,p=1,
所以 =
+
.
所以 =
,
所以r=3,(数列{Sn}单调递减,解唯一确定).
综上可知,p,q,r的值分别是1,2,3
【解析】(1)把给出的数列递推式an+1= an﹣
,n∈N* , 变形后得到新数列{3nan},该数列是以1为首项,以﹣2为公差的等差数列;(2)由(1)推出{an}的通项公式,利用错位相减法从而求得求Sn;(3)根据等差数列的性质得到2Sq=Sp+Sr , 从而推知p,q,r的值.
【考点精析】利用等差关系的确定和数列的前n项和对题目进行判断即可得到答案,需要熟知如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,即-
=d ,(n≥2,n∈N
)那么这个数列就叫做等差数列;数列{an}的前n项和sn与通项an的关系
.
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