题目内容
【题目】设函数,其中
为实数.
(1)已知函数是奇函数,直线
是曲线
的切线,且
,
,求直线
的方程;
(2)讨论的单调性.
【答案】(1) 6x+3y﹣1=0或2x+y+5=0 (2)见解析
【解析】试题分析:(1)根据函数g(x)=f(x)﹣f′(x)是奇函数可求出a的值,然后根据l1⊥l2可求出l1的斜率,从而可求出切点坐标,求出切线方程;
(2)先求函数f(x)的导函数f′(x),再解不等式f′(x)>0和f′(x)<0即可得函数的单调区间,本题需讨论a与﹣和0的大小关系.
试题解析:
解:(1)∵,
∴f′(x)=ax2﹣x﹣(a+1)
则g(x)=f(x)﹣f′(x)=﹣ax2+x+(a+1)=
∵函数g(x)=f(x)﹣f′(x)是奇函数∴+a=0即a=﹣
则f′(x)=﹣
x2﹣x﹣
∵l1⊥l2,l2:x﹣2y﹣8=0
∴l1的斜率为﹣2,即f′(x)=﹣x2﹣x﹣
=﹣2解得x=1或﹣3
即切点为(1,﹣)或(﹣3,1)
∴直线l1的方程为6x+3y﹣1=0或2x+y+5=0
(2)f′(x)=ax2﹣x﹣(a+1)=(ax﹣a﹣1)(x+1)
当a=0时,f′(x)=﹣x﹣1,当x∈(﹣∞,﹣1)时,f′(x)>0,当x∈(﹣1,+∞)时,f′(x)<0
∴函数f(x)的单调增区间为(﹣∞,﹣1),单调递减区间为(﹣1,+∞)
当a>0时,当x∈(﹣∞,﹣1)时,f′(x)>0,当x∈(﹣1,1+)时,f′(x)<0,当x∈(1+
,+∞)时,f′(x)>0
∴函数f(x)的单调增区间为(﹣∞,﹣1),(1+,+∞)单调递减区间为(﹣1,1+
)
当﹣<a<0时,当x∈(﹣∞,1+
)时,f′(x)<0,当x∈(1+
,﹣1)时,f′(x)>0,当x∈(﹣1,+∞)时,f′(x)<0
∴函数f(x)的单调增区间为(1+,﹣1)单调递减区间为(﹣∞,1+
当a=﹣时,f′(x)≤0恒成立,即函数单调递减区间为(﹣∞,+∞)
当a<﹣时,当x∈(﹣∞,﹣1)时,f′(x)<0,当x∈(﹣1,1+
)时,f′(x)>0,当x∈(1+
,+∞)时,f′(x)<0
∴函数f(x)的单调增区间为(﹣1,1+)单调递减区间为(﹣∞,﹣1),(1+
,+∞)
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