Question

6．已知A₁、A₂是双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a，b＞0）的左右顶点，双曲线C的焦距为2c，P为右支上异于A₂的一点，直线PA₂与直线x=$\frac{{a}^{2}}{c}$相交于点Q，若$\overrightarrow{{A}_{1}P}$•$\overrightarrow{{A}_{1}Q}$=0，则双曲线C的渐近线方程为（　　）

• A． y=±2x
• B． y=±x
• C． y=±$\sqrt{3}$x
• D． y=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$x

Answer 1

分析 设P（m，n），则直线PA₂的方程为y=$\frac{n}{m-a}$（x-a），求出Q的坐标，利用$\overrightarrow{{A}_{1}P}$•$\overrightarrow{{A}_{1}Q}$=0，建立方程，可得c，a的关系，即可求出双曲线C的渐近线方程．

解答 解：设P（m，n），则直线PA₂的方程为y=$\frac{n}{m-a}$（x-a），x=$\frac{{a}^{2}}{c}$时，y=$\frac{n}{m-a}$（$\frac{{a}^{2}}{c}$-a），
∴Q（$\frac{{a}^{2}}{c}$，$\frac{n}{m-a}$（$\frac{{a}^{2}}{c}$-a）），
∵$\overrightarrow{{A}_{1}P}$•$\overrightarrow{{A}_{1}Q}$=0，
∴（m+a，n）•（$\frac{{a}^{2}}{c}$+a，$\frac{n}{m-a}$（$\frac{{a}^{2}}{c}$-a））=0，
∴（m+a）（$\frac{{a}^{2}}{c}$+a）+n•$\frac{n}{m-a}$（$\frac{{a}^{2}}{c}$-a））=0，
∴$\frac{{m}^{2}-{a}^{2}}{{n}^{2}}$×（a²+ac）+（a²-ac）=0，
∵$\frac{{m}^{2}-{a}^{2}}{{n}^{2}}$=$\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}$，
∴$\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}$×（a²+ac）+（a²-ac）=0，
化简可得c=2a，
∴b=$\sqrt{3}$a，
∴双曲线C的渐近线方程为y=$±\sqrt{3}$x．
故选：C．

点评 本题考查双曲线的方程与性质，考查双曲线C的渐近线方程，确定c，a的关系是关键．