Question

13．已知定义域为R的函数f（x）=x²+ax+b（a，b∈R）的值域为[0，+∞），若关于x的不等式f（x）＜c的解集为（1，7），则实数c的值为9．

Answer 1

分析 根据函数f（x）的值域得△=0，再根据不等式f（x）＜c的解集，利用根与系数的关系即可求出c的值．

解答 解：∵函数f（x）=x²+ax+b（a，b∈R）的值域为[0，+∞），
∴函数f（x）的最小值为0，
即△=a²-4b=0，∴b=$\frac{1}{4}$a²；
又∵关于x的不等式f（x）＜c可化成x²+ax+b-c＜0，
即x²+ax+$\frac{1}{4}$a²-c＜0，
且不等式f（x）＜c的解集为（1，7），
∴方程x²+ax+$\frac{1}{4}$a²-c=0的两根分别为x₁=1，x₂=7，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1+7=-a}\\{1×7={\frac{1}{4}a}^{2}-c}\end{array}\right.$，
解得c=9．
故答案为：9．

点评 本题考查了二次函数与一元二次不等式的解法与应用问题，也考查了根与系数关系的应用问题，
是基础题目．