Question

4．已知点D为等腰直角三角形ABC斜边AB的中点，则下列等式中恒成立的是（　　）

• A． $\overrightarrow{CD}=\frac{{\overrightarrow{CA}}}{{|\overrightarrow{CA}|}}+\frac{{\overrightarrow{CB}}}{{|\overrightarrow{CB}|}}$
• B． $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AB}$
• C． $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{BA}$
• D． $（\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}）•（\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{CB}）=0$

Answer 1

分析 点D为等腰直角三角形ABC斜边AB的中点，可得$\overrightarrow{CD}⊥\overrightarrow{BA}$，又$\overrightarrow{CD}$=$\frac{1}{2}（\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}）$，$\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{CB}$，代入$\overrightarrow{CD}•\overrightarrow{BA}$=0，即可得出．

解答 解：∵点D为等腰直角三角形ABC斜边AB的中点，
∴$\overrightarrow{CD}⊥\overrightarrow{BA}$，
又$\overrightarrow{CD}$=$\frac{1}{2}（\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}）$，$\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{CB}$，
∴$\overrightarrow{CD}•\overrightarrow{BA}$=$\frac{1}{2}（\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}）$•$（\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{CB}）$=0，
即$（\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}）$•$（\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{CB}）$=0，
故选：D．

点评 本题考查了向量垂直与数量积的关系、向量的平行四边形法则、三角形法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．