Question

【题目】已知，分别是双曲线的左顶点、右焦点，过的直线与的一条渐近线垂直且与另一条渐近线和轴分别交于，两点.若，则的离心率是（ ）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】D

【解析】

由已知条件设出直线l的方程，与y＝﹣x联立，求P点坐标，将x＝0带入直线l，求Q点坐标，由AP⊥AQ，知kAPkAQ，由此求离心率．

∵A，F分别是双曲线的左顶点、右焦点，

∴A（﹣a，0）F（c，0），

∵过F的直线l与C的一条渐近线垂直，

且与另一条渐近线和y轴分别交于P，Q两点，

∴直线l的方程为：y＝﹣，

直线l：y＝﹣与y＝﹣x联立：

，解得P点

将x＝0带入直线l：y＝﹣，得Q（0，），

∵AP⊥AQ，∴kAPkAQ＝×＝﹣1，

化简得b2﹣ac﹣a2＝﹣c2，

把b2＝c2﹣a2代入，得2c2﹣2a2﹣ac＝0

同除a2得2e2﹣2﹣e＝0，

∴e＝，或e＝（舍）．

故选：D．