题目内容

【题目】已知函数f (x)=x2aln x-1,函数F(x)=.

(1)如果函数f (x)的图象上的每一点处的切线斜率都是正数,求实数a的取值范围;

(2)当a=2时,你认为函数y的图象与yF(x)的图象有多少个公共点?请证明你的结论.

【答案】(1)(0](2)没有公共点

【解析】试题分析:(1)由函数f (x)的图象上的每一点处的切线斜率都是正数,得到f ′(x)=2x>0,即a<2x2在(0,+∞)上恒成立,转为最值问题;

(2)原问题等价于的解的个数,即x2-2ln xx+2-2=0的解的个数,构造新函数,研究函数的最值即可.

试题解析:

(1)∵f (x)=x2aln x-1的定义域为(0,+∞),函数f (x)的图象上的每一点处的切线斜率都是正数,

f ′(x)=2x>0在(0,+∞)上恒成立.

a<2x2在(0,+∞)上恒成立,

y=2x2>0在(0,+∞)上恒成立,∴a≤0.

∴所求的a的取值范围为(-∞,0].

(2)当a=2时,函数y的图象与yF(x)的图象没有公共点.证明如下:

a=2时,y,它的定义域为

{x|x>0且x≠1},F(x)的定义域为[0,+∞).

x>0且x≠1时,由F(x)得x2-2ln xx+2-2=0.

h(x)=x2-2ln xx+2-2,

h′(x)=2x-1+

.

∴当0<x<1时,h′(x)<0,此时,h(x)单调递减;

x>1时,h′(x)>0,此时,h(x)单调递增.

∴当x>0且x≠1时,h(x)>h(1)=0,

h(x)=0无实数根.

∴当a=2,x>0且x≠1时, F(x)无实数根.

∴当a=2时,函数y的图象与yF(x)的图象没有公共点.

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