题目内容
【题目】已知函数,
.
(1)若关于的方程
只有一个实数解,求实数
的取值范围;
(2)若当时,不等式
恒成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1)(2)
【解析】
(1)方程可化为
,易知
已是该方程的根,从而要使原方程只有一解,即要求方程
有且仅有一个等于1的解或无解,结合图象可得a的范围;
(2)不等式对
恒成立,即
对
恒成立,分
,
两种情况进行讨论,分离出参数a后转化为求函数的最值即可;
(1)方程,即
,变形得
,
显然,已是该方程的根,从而欲使原方程只有一解,即要求方程
有且仅有一个等于1的解或无解,
.即
的取值范围是
.
(2)当时,不等式
恒成立,即
对
恒成立.
①当时,
式显然成立,此时
.
②当时,
式可变形为
令
当
时,
,当
时,
,
,故此时
.
综合①②,得所求实数的取值范围是
.
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