题目内容
【题目】已知函数.
(1)若函数是奇函数,求实数
的值;
(2)若关于的方程
在区间
上有解,求实数
的取值范围.
【答案】(1);(2)
.
【解析】
(1)求出函数的解析式,由奇函数的定义得出
,结合指数运算可求出实数
的值;
(2)由(1)知,函数为奇函数且为减函数,由
,得出
,可得出关于
的方程
在区间
上有解,构造函数
,将问题转化为二次函数
在区间
上有零点,结合二次函数零点分布求出实数
的取值范围.
(1),函数
的定义域为
,
由于函数是奇函数,则
,即
,
,因此,
;
(2)是奇函数,
则方程等价为
,即
,
则,
函数
在定义域上是单调函数,
在区间
上有解,
即在区间
上有解.
构造函数,
.
①若函数在区间
有且只有一个零点,
则或
,解得
或
.
当时,
,令
,得
,
,不合乎题意;
当时,
,令
,得
,
,不合乎题意;
②若函数在区间
有两个零点,则
,此时
.
综上所述,实数的取值范围是
.
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