题目内容

11.设函数f(x)=ln(1+x),g(x)=$\frac{ax}{1+x}$(x≥0),若f(x)≥g(x)恒成立,则a的取值范围是(  )
A.a≤2B.a≥2C.a≤1D.a≥1

分析 由f(x)≥g(x)转化为(x+1)ln(x+1)-ax≥0,令g(x)=(x+1)ln(x+1)-ax,对g(x)求导,利用函数的单调性和最值进行求解即可.

解答 解:∵f(x)≥g(x),
∴ln(1+x)≥$\frac{ax}{1+x}$,
即(x+1)ln(x+1)-ax≥0成立,
令g(x)=(x+1)ln(x+1)-ax,
对函数g(x)求导数:g′(x)=ln(x+1)+1-a
令g′(x)=0,解得x=ea-1-1,
(i)当a≤1时,对所有x>0,g′(x)>0,所以g(x)在[0,+∞)上是增函数,
又g(0)=0,所以对x≥0,都有g(x)≥g(0),
即当a≤1时,对于所有x≥0,都有f(x)≥ax.
(ii)当a>1时,对于0<x<ea-1-1,g′(x)<0,所以g(x)在(0,ea-1-1)是减函数,
又g(0)=0,所以对0<x<ea-1-1,都有g(x)<g(0),
即当a>1时,不是对所有的x≥0,都有f(x)≥ax成立.
综上,a的取值范围是(-∞,1].
故选:C

点评 本题考查了导数在最大值最小值问题中的应用,考查了利用函数的导函数判断函数的单调性,考查了分类讨论的数学思想方法,题目难度较大.

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