题目内容
16.若函数f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{2{x}^{3}+3{x}^{2}+1,x≤0}\\{-{x}^{2}+2ax-{a}^{2}+2a,x>0}\end{array}\right.$在区间[-2,2]上的最大值为2,则实数a的取值范围是(-∞,1]∪[3+$\sqrt{3}$,+∞).分析 运用导数,求得当x∈[-2,0]上的最大值为2; 欲使得函数f(x)在[-2,2]上的最大值为2,讨论f(x)在(0,2]上的最大值必须小于等于2,解不等式从而可得a的范围.
解答 解:由题意,当x≤0时,f(x)=2x3+3x2+1,
可得f′(x)=6x2+6x,
由函数在[-1,0]上导数为负,在[-∞,-1]上导数为正,
故函数在[-2,0]上的最大值为f(-1)=2;
要使函数f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{2{x}^{3}+3{x}^{2}+1,x≤0}\\{-{x}^{2}+2ax-{a}^{2}+2a,x>0}\end{array}\right.$在[-2,2]上的最大值为2,
则当x>0时,f(x)=-(x-a)2+2a,对称轴为x=a,
当a≤0时,区间(0,2]为减区间,f(0)=2a≤0;
当0<a<2时,f(a)取得最大,且为2a≤2,解得0<a≤1;
当a≥2时,区间(0,2]为增区间,f(2)=-4+6a-a2≤2,
解得a≥3+$\sqrt{3}$.
综上可得a的范围是a≥3+$\sqrt{3}$或a≤1.
故答案为:(-∞,1]∪[3+$\sqrt{3}$,+∞).
点评 本小题主要考查函数单调性的应用、函数最值的应用、不等式的解法等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想.属于中档题.
练习册系列答案
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