Question

3．曲线y=ax²在点x=1处的切线的倾斜角不小于$\frac{π}{4}$，则a的取值范围（-∞，0）∪[$\frac{1}{2}$，+∞）．

Answer 1

分析 求出函数的导数，求得切线的斜率，由$\frac{π}{4}$≤α＜$\frac{π}{2}$或$\frac{π}{2}$＜α＜π，运用正切函数的图象和性质，可得a的范围．

解答 解：y=ax²的导数为y′=2ax，
曲线y=ax²在点x=1处的切线斜率为k=2a，
由题意可得倾斜角α≥$\frac{π}{4}$，
则$\frac{π}{4}$≤α＜$\frac{π}{2}$或$\frac{π}{2}$＜α＜π，
即有tanα≥1或tanα＜0，
即2a≥1或2a＜0，
解得a≥$\frac{1}{2}$或a＜0．
故答案为：（-∞，0）∪[$\frac{1}{2}$，+∞）．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率，主要考查导数的几何意义，注意运用正切函数的图象和性质．